物理表示侦察兵 / Problem Representation Scout

卡住通常不是因为不会算，而是因为在错误的表示里算。这个 skill 做两件事： 把过程切成阶段，为每个阶段配一个表示。

顺序不能反。先分阶段，再选表示——一个横跨"接触前 / 接触中 / 接触后"的受力图， 画得再漂亮也没用，因为那三段的约束根本不是同一套。

何时使用 / When to use

• 方程都列出来了，就是解不动
• 能量怎么算都对不上
• 不知道该沿哪个方向、对哪个系统列方程
• 过程里有碰撞、绳突然绷直、打滑、脱离接触，不知道怎么接
• 画了图但不知道图能回答什么问题

不适用于 / Not for：

• 还不知道该用哪条定律 —— 先用 problem-formalization-coach
• 只是想换个参考系 —— 用 reference-frame-choice-guide（本 skill 会指过去）
• 想要有人把方程解出来 —— 本 skill 不解

需要的输入 / Inputs

输入	必填	说明
问题与要求的量	是	要求什么、在哪个时刻
已经做到哪一步	是	列了哪些方程、卡在哪一行；这是诊断的主要依据
定律台账	否	有 problem-formalization-coach 的产物最好

第一步：分阶段 / Stage decomposition

阶段边界只有五种

边界	判据	例子
约束改变	一条约束方程开始或停止成立	绳由松变紧、滑块进入轨道
接触建立或断开	正压力 N 由正变零	小球离开球面（N = 0 的那一刻）
摩擦状态切换（静 → 滑）	维持无相对滑动所需的静摩擦，其大小 f_req 达到 μ_s N	静止的物块开始滑动；滚动的轮子开始打滑
摩擦状态切换（滑 → 滚、滑 → 停）	接触点相对滑动速度 v_slip 降到 0（如 v_cm − ωR = 0）；之后再验所需静摩擦的大小 f_req ≤ μ_s N，成立才进入无滑阶段。滑动时摩擦是动摩擦 μ_k N，等不到"摩擦达到 μ_s N"那一刻	打滑的保龄球转为纯滚动；传送带上的物块滑到与带共速
冲量作用	有限冲量在趋于零的时间内完成	碰撞、绳绷直、锤击
相变或介质改变	材料状态或传播介质变了	熔化、进入另一种介质

判据本身往往就是一个待解的方程（"N = 0 发生在什么时候"）。 把它单独列出来当作一个子问题，不要混在主线里。

冲量阶段的严格处理

在冲量时间 Δt → 0、冲量 J = ∫F dt 保持有限的极限下：

量	能不能突变	理由
位置	不能	Δr ≤ v_max·Δt → 0
速度 / 动量	能	Δp = J
角动量	能	ΔL = r × J，r 因位置连续而取碰撞点的值
动能	只能减少（或由内部储能释放而增加）	恢复系数 e ∈ [0, 1]；爆炸、压缩弹簧释放属于后者
有限力（重力、常规弹簧力）的冲量	趋于零	所以冲量阶段可以忽略重力——这才是"碰撞瞬间动量守恒"的严格版本

两个常用推论：

• 绳突然绷直（不可伸长、不回弹）：冲量沿绳，沿绳方向的速度分量被抹掉， 垂直分量不变；损失的动能是 ½m v_∥²。
• 刚体受冲量 J，作用点相对质心的位置是 r：Δv_cm = J/M，Δω = I_cm⁻¹(r × J)。 质心速度和角速度必须分别处理，不能只写一条。

衔接条件

相邻阶段之间，逐个状态量对上：

量	跨冲量边界	跨非冲量边界
位置	连续	连续
速度	可突变	连续
加速度	可突变	可突变（约束换了）
能量	可减少	无耗散时连续

能量算不平，十有八九是漏了一个冲量边界。 先回来查阶段划分，不要去改系数。

第二步：选表示 / Choosing a representation

选择判据：看问题里出现哪些量、不出现哪些量

要求的量里不含	就找不含它的关系
时间	功–动能定理、能量守恒、v² 型关系
内力	把两个物体取成一个系统
具体路径	保守力的势能差
力的大小，只要方向	对称性
瞬时值，只要总量	冲量–动量、收支方程

表示清单

表示	直接给出	前提	什么时候不该用
受力图	瞬时加速度、约束力	系统边界画清；每个力有施力物体	内力多、约束复杂时改用广义坐标
冲量–动量表	突变前后的速度	冲量主导（见上）	有限时长的过程
势能曲线 U(x)	转折点、能不能越过、平衡点稳定性	保守力，且可约化为单自由度	有耗散或强耦合
有效势 U_eff = U(r) + L²/(2mr²)	中心力问题的径向运动	角动量守恒	有非中心力或力矩
相图 (x, ẋ)	周期性、分离线、稳定性	自治系统（不显含 t）	受迫振动要扩展相空间或用庞加莱截面
v–t / a–t 图	位移 = 面积，加速度 = 斜率	一维，或已分解到某个分量	二维耦合运动
质心系 + 相对坐标	两体降为单体（约化质量 μ = m₁m₂/(m₁+m₂)）	内力只依赖相对位置	三体以上
电路重画（等势点合并）	串并联结构	无互感、准静态	有互感、分布参数、高频
相量 / 复阻抗	正弦稳态的幅值与相位	线性、单一频率、已达稳态	暂态、非线性、多频
无量纲化	哪些参数只以组合形式出现	—	定不了无量纲系数
对称性 → 守恒量	一个首次积分	拉格朗日量在该变换下不变	有耗散
镜像法 / 叠加	简单边界下的场	线性介质、规则边界	非线性或复杂几何
参考系变换	消掉一个运动	见 reference-frame-choice-guide	—

诊断表 / Symptom to missing representation

症状	缺的通常是	先做什么
受力都画了，方程解不动	一个首次积分	找对称性；检查是否有守恒量没用上
不知道沿哪个方向、对哪个系统列方程	约束分析	数自由度，改用广义坐标；把"系统"边界画出来
能量怎么都对不平	阶段划分	找漏掉的冲量边界或耗散项
结果依赖一个我以为无关的量	无量纲化	把方程无量纲化，看该量是否只出现在某个组合里
多个物体，方程一大堆	质心 / 相对坐标分解	先写整体动量方程，再写相对运动
电路看不出串并联	等势点重画	标出等势点并合并，再重画
结果随时间振荡，看不出规律	相图或频域	画 (x, ẋ)；或做频谱
画了 v–t 图但答不了问题	图的类型不对	问"什么时候"用 v–t，问"能不能到"用 U(x)
每一步都对，最后结果荒谬	不是表示问题	交给 dimensional-analysis-checker 查量纲、limiting-case-validator 查极限

输出格式 / Output

## 阶段划分
| 阶段 | 起点事件 | 终点事件（判据） | 该段守恒什么 | 该段的表示 |

## 阶段边界
| 边界 | 类型（约束/接触/摩擦/冲量/相变） | 判据方程 | 位置 | 速度 | 能量 |

## 诊断
- 症状：<使用者的原话>
- 缺的表示：<哪一个>
- 理由：<为什么这个表示能直接回答本段的问题>

## 每段该问的问题
1. 阶段一：<在这个表示里，该问的第一个问题是什么>
2. ...

## 交接
- 需要先解决的子问题（通常是某个边界判据）
- 需要换参考系时 → reference-frame-choice-guide
- 解出后用什么检查

交出前闭环检查：每个阶段边界都有判据方程；相邻阶段的位置、速度、能量三行都填了； 诊断给的表示与"要求的量里不含什么"对得上。

边界 / Boundaries

• 不解题：不列完整方程组、不化简、不求解、不给数值。
• 不替使用者画图：说明该画什么图、图上该标哪些量，图由本人画。
• 不把"多试几个表示"当建议：给出的表示必须附一句它为什么能回答本段问题。
• 不跳过阶段划分直接推荐表示：这是本 skill 最容易被抄近路的地方。
• 不越过诚信闸：作业与竞赛进行中只给角度，不给结果。

Token 控制 / Token discipline

• 只复述使用者卡住的那几行，不重抄整份推导
• 表示清单按需引用相关行，不整表展开
• 交接只带阶段表与诊断结论

参考资料 / References

• ../_shared/law-applicability-table.md — 每段守恒什么、条件是否仍成立
• ../_shared/dimensionless-groups.md — 无量纲化那一行要用
• ../_shared/physics-evidence-contract.md — 状态标签与诚信边界

变更记录 / Changelog

版本	日期	变更	类型
0.1.1	2026-09-26	摩擦状态切换的判据拆成两行：静→滑看所需静摩擦达到 μ_s N，滑→滚/滑→停看接触点滑动速度归零后再验 f_req ≤ μ_s N（原写法对滑→滚是错的）；诊断表"结果荒谬"一行改为交给 dimensional-analysis-checker 与 limiting-case-validator	patch
0.1.0	2026-08-30	初始草稿：五种阶段边界、冲量极限的严格处理、衔接条件表、表示清单与症状诊断表	minor